笛卡尔积结合律(数据库问题 笛卡尔积怎么计算)
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数据库问题 笛卡尔积怎么计算
设A,B为集合,用A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积,记作AxB.
笛卡尔积的符号化为:
A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}
例如,A={a,b}, B={0,1,2},则
A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}
运算性质:
1.对任意集合A,根据定义有
AxΦ =Φ , Φ xA=Φ
2.一般地说,笛卡尔积运算不满足交换律,即
AxB≠BxA(当A≠Φ ∧B≠Φ∧A≠B时)
3.笛卡尔积运算不满足结合律,即
(AxB)xC≠Ax(BxC)(当A≠Φ ∧B≠Φ∧C≠Φ时)
4.笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律,即
Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC)
(B∪C)xA=(BxA)∪(CxA)
Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC)
(B∩C)xA=(BxA)∩(CxA)
什么叫直积什么叫笛卡尔乘积
笛卡尔乘积 名称定义假设集合A={a,b},集合B={0,1,2},则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有,如果A表示某学校学生的集合,B表示该学校所有课程的集合,则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。笛卡儿积的运算性质由于有序对《x,y》中x,y的位置是确定的,因此A×B的记法也是确定的,不能写成B×A. 笛卡儿积也可以多个集合合成,A1×A2×…×An. 笛卡儿积的运算性质. 一般不能交换.笛卡儿积,把集合A,B合成集合A×B,规定A×B={《x,y》½xÎAÙyÎB}推导过程给定一组域D1,D2,…,Dn,这些域中可以有相同的。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为:D1×D2×…×Dn={(d1,d2,…,dn)|di�8�3Di,i=1,2,…,n}所有域的所有取值的一个组合不能重复例 给出三个域:D1=SUPERVISOR ={ 张清玫,刘逸 } D2=SPECIALITY={计算机专业,信息专业}D3=POSTGRADUATE={李勇,刘晨,王敏}则D1,D2,D3的笛卡尔积为D:D=D1×D2×D3 ={(张清玫,计算机专业,李勇),(张清玫,计算机专业,刘晨),(张清玫,计算机专业,王敏),(张清玫,信息专业,李勇), (张清玫,信息专业,刘晨),(张清玫,信息专业,王敏), (刘逸,计算机专业,李勇),(刘逸,计算机专业,刘晨),(刘逸,计算机专业,王敏),(刘逸,信息专业,李勇), (刘逸,信息专业,刘晨),(刘逸,信息专业,王敏) }这样就把D1,D2,D3这三个集合中的每个元素加以对应组合,形成庞大的集合群。本个例子中的D中就会有2X2X3个元素,如果一个集合有1000个元素,有这样3个集合,他们的笛卡尔积所组成的新集合会达到十亿个元素。假若某个集合是无限集,那么新的集合就将是有无限个元素。 序偶与笛卡尔积在日常生活中,有许多事物是成对出现的,而且这种成对出现的事物,具有一定的顺序。例如,上,下;左,右;3〈4;张华高于李明;中国地处亚洲;平面上点的坐标等。一般地说,两个具有固定次序的客体组成一个序偶,它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x,y〉。上述各例可分别表示为〈上,下〉;〈左,右〉;〈3,4〉;〈张华,李明〉;〈中国,亚洲〉;〈a,b〉等。 序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a,b}={b,a},但对序偶〈a,b〉≠〈b,a〉。 设x,y为任意对象,称集合{{x},{x,y}}为二元有序组,或序偶(ordered pairs),简记为《x,y》 。称x为《x,y》的第一分量,称y为第二分量。 定义3-4.1 对任意序偶《a,b》 , 《c, d 》 ,《a,b》 = 《c, d 》 当且仅当a=c且b = d 。 递归定义n元序组 《a1,… , an》 《a1,a2》 ={{a1},{a1 , a2}} 《a1 , a2 , a3 》 = { {a1 , a2},{a1 , a2 , a3}} = 《 《a1 , a2 》 , a3 》 《a1,…an》 = 《《a1,…an-1》, an》两个n元序组相等 《 a1,…an 》= 《 b1,…bn 》Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn) 定义3-4.2 对任意集合 A1,A2 , …,An,(1)A1×A2,称为集合A1,A2的笛卡尔积(Cartesian product),定义为 A1 ×A2={x | $u $v(x = 《u,v》∧u ÎA1∧vÎA2)}={《u,v》 | u ÎA1∧vÎA2} (2)递归地定义 A1 × A2× … × An A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An 例题1 若A={α,β},B={1,2,3},求A×B,A×A,B×B以及(A×B)Ç(B×A)。 解 A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,《β,3〉}B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}B×B={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈3,3〉}(A×B)Ç(B×A)=Æ 由例题1可以看到(A×B)Ç(B×A)=Æ 我们约定若A=Æ或B=Æ,则A×B=Æ。 由笛卡尔定义可知: (A×B)×C={〈〈a,b〉,c〉|(〈a,b〉∈A×B)∧(c∈C)}={〈a,b,c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)} A×(B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)} 由于〈a,〈b,c〉〉不是三元组,所以 (A×B)×C ≠A×(B×C) 定理3-4.1 设A, B, C为任意集合,*表示 È,Ç或 – 运算,那么有如下结论: 笛卡尔积对于并、交差运算可左分配。即: A×(B*C)=(A×B)*(A×C) 笛卡尔积对于并、交差运算可右分配。即: (B*C) ×A=(B×A)*(C×A)¤ 当*表示 È时,结论(1)的证明思路:(讨论叙述法) 先证明A×(B È C)Í(A×B) È (A×C) 从《x,y》∈A×(BÈC)出发,推出《x,y》∈(A ×B) È (A×C) 再证明(A×B) È (A×C) Í A×(B È C) 从《x,y》∈(A×B) È (A×C)出发,推出《x,y》∈A×(BÈC) 当*表示 È时,结论(2)的证明思路:(谓词演算法) 见P-103页。¤ 定理3-4.2 设A, B, C为任意集合,若C ≠ F,那么有如下结论: AÍBÛ(A×C ÍB×C) Û (C×AÍC×B) ¤定理前半部分证明思路 :(谓词演算法) 先证明AÍB Þ (A×CÍB×C)以AÍB 为条件,从《x,y》∈A×C出发,推出《x,y》∈B×C得出(A×CÍB×C)结论。 再证明(A×C ÍB×C) Þ AÍB 以C≠F为条件,从x∈A出发,对于y∈C,利用Þ附加式,推出x∈B 得出(AÍB)结论。 见P-103页。 ¤定理3-4.3 设A, B, C, D为任意四个非空集合,那么有如下结论: A×B Í C×D的充分必要条件是AÍ C,BÍ D ¤证明思路:(谓词演算法) 先证明充分性: A×B Í C×D Þ AÍ C,BÍ D 对于任意的x∈A、y∈B,从《x,y》∈A×B出发,利用条件A×BÍ C×D, 《x,y》∈C×D,推出x∈C, y∈D。 再证明必要性: AÍ C,BÍ D ÞA×BÍ C×D 对于任意的x∈A、y∈B,从《x,y》∈A×B出发,推出《x,y》∈C×D。笛卡尔(Descartes)乘积又叫直积。设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对(x,y),把这样的有序对作为新的元素,他们的全体组成的集合称为集合A和集合B的直积,记为A×B,即A×B={(x,y)|x∈A且y∈B}。
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