二次函数概念总结（二次函数的初三数学知识点归纳）

2024-07-24 12:25:42 ：174

本文目录

二次函数的初三数学知识点归纳
二次函数的概念和性质
初中二次函数的基本概念简述二次函数
二次函数的概念是什么
二次函数的概念及图像和性质
初三数学二次函数知识点归纳
二次函数的概念都是什么急用！谢谢~
什么是二次函数
二次函数的知识点归纳总结是什么
二次函数知识点总结

二次函数的初三数学知识点归纳

　　1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0)　　　　2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0，c)点. 　　3. y=ax20)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的.b=0且c=0时二次函数为y=ax20); 　　这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：　　(1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0，0); 　　4.求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法. 　　5.二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h, k)，对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k. 　　6.求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. 　　7.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：　　k值增大=图象向上平移; 　　k值减小图象向下平移; 　　(x-h)值增大=图象向左平移; 　　(x-h)值减小图象向右平移. 　　8.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象及几个重要点的公式：　　9.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中，a、b、c与的符号与图象的关系：　　(1)a=抛物线开口向上;0 抛物线开口向下; 　　(2)c=抛物线从原点上方通过;c=0 抛物线从原点通过; 　　c=抛物线从原点下方通过; 　　(3)a, b异号=对称轴在y轴的右侧;a, b同号=对称轴在y轴的左侧; 　　b=0对称轴是y轴; 　　(4)b2-4ac=抛物线与x轴有两个交点; 　　b2-4ac =0=抛物线与x轴有一个交点(即相切); 　　b2-4ac=抛物线与x轴无交点. 　　10.二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

二次函数的概念和性质

一元二次函数：二次曲线可以是椭圆, 双曲线, 抛物线。但一般来说都是指形如y=ax^2+bx+c (其中a不等于0)形式的函数叫做一元二次函数。1、当a》0时的性质：（1）图象开向上。（2）它的顶点坐标是(3)单调性：单调递增；（4）对称性：关于直线x=-b/(2*a)对称。（5）在整个实数定义域上，它有最小值：y=(4ac-b^2)/(4a)（6）一般不具备奇偶性，但当b=0时，它关于X轴对称，是偶函数。2、当a《0时的性质：（1）图象开向下。（2）它的顶点坐标是(3)单调性：单调递减；（4）对称性：关于直线x=-b/(2*a)对称。（5）在整个实数定义域上，它有最大值：y=(4ac-b^2)/(4a)（6）一般不具备奇偶性，但当b=0时，它关于X轴对称，是偶函数。3、当自变量x的范围是对称轴的某一侧的一定范围时，它取得最值的地方是闭区间的端点位置时Y的值。当自变量x的范围是跨越顶点时的一定范围，它的最值是闭区间位置时y的两个值加上顶点处三个值中的最大和最小者。4、当a不等于0，b=0,c=0时，y=ax^2，化为x^2=(1/a)*y，是高中数学中抛物线标准形式中之一，也是最简单形式之一

初中二次函数的基本概念简述二次函数

1、二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax2+bx+c（a≠0）。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。 2、二次函数表达式为y=ax2+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。 3、如果令y值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

二次函数的概念是什么

二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数.二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0).其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线.一、定义与定义表达式一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系：1、一般式y=ax^2(上标)+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2/4a) ；2、顶点式y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（-m,k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax²的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；3、交点式y=a(x-x1)(x-x2) ；重要概念：a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a》0时,开口方向向上,a0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)4、特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c二、二次函数的性质定义域：R 值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）奇偶性：当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数 .周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a》0 且X≥(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a》0且X≤（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小。此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式.两交点X值就是相应X1 X2值.两图像对称①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称； ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称； ③y=ax^2+bx+c与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称； ④y=ax^2+bx+c与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称.

二次函数的概念及图像和性质

二次函数（quadratic function）是一个二次多项式（或单项式），它的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。函数性质1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a》0时，抛物线开口向上；当a《0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab》0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab《0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。时，抛物线与x轴有1个交点。当时，抛物线与x轴没有交点。7.当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。8.定义域：R值域：当a》0时，值域是；当a《0时，值域是。奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。周期性：无解析式：①一般式：⑴a≠0⑵若a》0，则抛物线开口朝上；若a《0，则抛物线开口朝下；⑶顶点：；⑷若Δ》0，则函数图像与x轴交于两点：和；若Δ=0，则函数图像与x轴交于一点：若Δ《0，函数图像与x轴无公共点；②顶点式：此时顶点为（h,k)时，对应顶点为，其中,；③交点式：函数图像与x轴交于和两点。表达式顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h》0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况：当h》0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；当h《0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；当h》0,k》0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h》0,k《0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h《0,k》0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h《0,k《0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。

初三数学二次函数知识点归纳

二次函数作为初三数学重难考点之一，一直被很多同学头疼。下面我就整理了初三数学二次函数相关知识点，供大家参考。

二次函数的概念

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数。

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2。

⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。

初三数学二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）。

顶点式：y=a(x-h)^2+k。

交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)。

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a。

二次函数的性质

1.性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

2.k，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；

当b=0时，直线通过原点；

当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

初三数学二次函数图像

对于一般式：

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称。

③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。

④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

二次函数的概念都是什么急用！谢谢~

二次函数二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。定义与定义表达式一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax^2(上标)+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a) ；顶点式 y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-m，k）或（h,k）对称轴为x=-m或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式 y=a(x-x1)(x-x2) ；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a》0时，开口方向向上，a《0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。牛顿插值公式（已知三点求函数解析式） y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距) 求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。求根公式 x是自变量，y是x的二次函数 x1,x2=/2a (即一元二次方程求根公式）（如右图）求根的方法还有因式分解法和配方法如何学习二次函数 1。要理解函数的意义。 2。要记住函数的几个表达形式，注意区分。 3。一般式,顶点式,交点式，等，区分对称轴，顶点，图像等的差异性。 4。联系实际对函数图像的理解。 5。计算时，看图像时切记取值范围。二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。注意：草图要有 1本身图像，旁边注明函数。 2画出对称轴，并注明X=什么 3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质轴对称 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）顶点 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，4ac-b^2/4a ) 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2;-4ac=0时，P在x轴上。开口 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。决定对称轴位置的因素 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a《0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a》0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜ 0 ），对称轴在y轴右。事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定抛物线与y轴交点的因素 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a》0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x《-b/2a}上是减函数，在 {x|x》-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c二次函数的性质 8.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①（a≠0）对称轴X=(X1+X2)/2 当a》0 且X≥(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a》0且X≤（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。两图像对称 ①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称； ②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称； ③y=ax^2+bx+c与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称； ④y=ax^2+bx+c与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称。本段二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax²;，y=a(x-h)²;，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式顶点坐标对称轴 y=ax^2 (0，0) x=0 y=ax^2+K (0，K) x=0 y=a(x-h)^2 (h，0) x=h y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h y=ax^2+bx+c (-b/2a，4ac-b²/4a) x=-b/2a 当h》0时，y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到，当h《0时，则向左平行移动|h|个单位得到。当h》0,k》0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；当h》0,k《0时，将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2-k的图象；当h《0,k》0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)^2+k的图象；当h《0,k《0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x+h)^2-k的图象；在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。 2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a》0时，开口向上，当a《0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，/4a)。 3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a》0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a《0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。 4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b^2-4ac》0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△《0．图象与x轴没有交点．当a》0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y》0；当a《0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y《0。 5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a》0(a《0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax^2+bx+c(a≠0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)。 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。本段中考典例 1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：．考点：二次函数y=ax^2+bx+c的求法评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵抛物线对称轴是直线x=4， ∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3，即：x2- x1= ② ①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4- ∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 1 当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 1 因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3) 即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3 说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。 2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强。 (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时，学生的接受能力最强？考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质。评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)²+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x》13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)²+59.9 所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。 (2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。第10分时，学生的接受能力为59。 (3)x=13时，y取得最大值，所以，在第13分时，学生的接受能力最强。 3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为 :(55–40)×450=6750(元)． (2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)， ∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000． (3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，即：x2–140x+4800=0，解得：x1=60，x2=80．当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为： 40×400=16000(元)；当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为： 40×200=8000(元)；由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 5．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．（1）求y关于x的函数关系式；（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？ 6．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴．评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．解析式求法 ①一般式：根据y=ax2+bx+c将（a,b）（c,d）（m,n）同时带入y=ax2+bx+c 可得解析式 ②顶点式：y=（x-h）2+k , h为顶点横坐标 k为顶点的纵坐标将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简可得解析式 ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标将x1 x2带入交点式在带入任意一个坐标可得交点式化简后可得解析式 ~!$@$%#$%@

什么是二次函数

二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；顶点式 y=a(x+h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（-h，k）或（h,k）对称轴为x=-h或x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y＝ax²的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式 y=a(x-x1)(x-x2)；由一般式变为交点式的步骤： ∵x1+x2=-b/ax1x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c=a(x^2+b/ax+c/a)=a=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a》0时，开口方向向上；a《0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

二次函数的知识点归纳总结是什么

二次函数的知识点：

1、二次函数的定义：y=ax^2+bx+c(a≠0)。

2、图像和性质：

二次函数y=ax^2(a》0)的图像和性质。

二次函数y=ax^2(a《0)的图像和性质。

二次函数y=ax^2+bx+c(a》0)的图像和性质。

二次函数y=ax^2+bx+c(a《0)的图像和性质。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a》0,与b同号时（即ab》0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a。

当a》0,与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a》0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。

可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a》0，b》0或a。

二次函数知识点总结

在数学中，二次函数的最高阶必须是二次的。在数学中，二次函数主要研究学生对公式的应用，是数学知识的重点。二次函数知识点总结有哪些？一起来看看二次函数知识点总结，欢迎查阅！

数学二次函数知识点归纳

计算方法

1.样本平均数：⑴ ;⑵若，，…， ,则 (a―常数，，，…，接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

2.样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a―接近、、…、的平均数的较“整”的常数);若、、…、较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3.样本标准差：

三、应用举例(略)

初三数学知识点：第四章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

☆ 内容提要☆

一、直线、相交线、平行线

1.线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2.线段的中点及表示

3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”)

4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线)

5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角)

6.互为余角、互为补角及表示方法

7.角的平分线及其表示

8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”)

9.对顶角及性质

10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系)

11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12.定义、命题、命题的组成

13.公理、定理

14.逆命题

二、三角形

分类：⑴按边分;

⑵按角分

1.定义(包括内、外角)

2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，

3.三角形的主要线段

讨论：①定义②__线的交点―三角形的×心③性质

① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质

5.全等三角形

⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法

6.三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。

7.重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8.证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

⑵间接证法―反证法：①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：延结法、截余法

⑹证面积关系：将面积表示出来

三、四边形

分类表：

1.一般性质(角)

⑴内角和：360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：360°

2.特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形――↑

⑷对角线的纽带作用：

3.对称图形

⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质)

4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形)

5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6.作图：任意等分线段。

二次函数知识点总结

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a》0时，开口方向向上，a《0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)^2+k

交点式：y=a(x-x?)(x-x ?)

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a》0时，抛物线向上开口;当a《0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab》0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab《0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b^2-4ac》0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b^2-4ac《0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

当h》0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h《0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

当h》0,k》0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

当h》0,k《0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h《0,k》0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

当h《0,k《0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a》0时，开口向上，当a《0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，/4a).

3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a》0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a《0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.

4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

(2)当△=b^2-4ac》0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

当△=0.图象与x轴只有一个交点;

当△《0.图象与x轴没有交点.当a》0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y》0;当a《0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y《0.

5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a》0(a《0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

6.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

二次函数知识点总结大全

二次函数概念

一般地，把形如y=ax?+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

二次函数公式大全

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax?+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax?;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)?;+k

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: