函数的基本性质（函数的基本性质有哪些）

本文目录

• 函数的基本性质有哪些
• log函数的基本性质有哪些
• 高二数学函数基本性质知识总结
• 常量函数的基本性质
• 函数的基本性质单调性
• 函数的基本性质
• 函数的基本性质是什么
• 高一函数的基本性质知识点
• 对数函数有哪些主要性质
• 对数函数的性质是什么呢

函数的基本性质有哪些

函数周期性公式大总结：

f（x+a）＝－f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-f（x+a）＝－［－f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=1/f（x+a）＝1/[1/f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

f（x+a）＝－1/f（x）。

那么f（x+2a）＝f=-1/f（x+a）＝1/[-1/f（x）］＝f（x）。

所以f（x）是以2a为周期的周期函数。

函数的由来：

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词，是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思，李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量，这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”

所以“函数”是指公式里含有变量的意思，我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等，但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

log函数的基本性质有哪些

基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)其他性质：1.换底公式 log(a)(N)=log(b)(N)÷log(b)(a)2.log(a)(b)=1/log(b)(a)3.对数函数的图象都过(1,0)点.4.对于y=log(a)(n)函数, ①,当0《a《1时,图象上函数显示为(0,+∞)单减.随着a 的增大,图象逐渐以(1,0)点为轴顺时针转动,但不超过X=1. ②当a》1时,图象上显示函数为(0,+∞)单增,随着a的增大,图象逐渐以(1.0)点为轴逆时针转动,但不超过X=1.5.与其他函数与反函数之间图象关系相同,对数函数和指数函数的图象关于直线y=x对称.

高二数学函数基本性质知识总结

关于函数的基本性质的知识点是一个系统的知识体系,需要重点掌握，下面给大家分享一些关于 高二数学 函数基本性质知识 总结 ，希望对大家有所帮助。

知识点总结

(一)函数的有关概念

1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x) x∈A }叫做函数的值域.

注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1) 分式的分母不等于零;

(2) 偶次方根的被开方数不小于零;

(3) 对数式的真数必须大于零;

(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.

(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .

(6)指数为零底不可以等于零

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：

(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)

(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断 方法 ：①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

值域补充

( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .

3. 函数图象知识归纳

(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x ， y) 的集合 C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.

C 上每一点的坐标 (x ， y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) y= f(x) , x ∈A }

图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成 .

(2) 画法

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以 (x,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y) ，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3) 作用：

1 、直观的看出函数的性质; 2 、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

发现解题中的错误。

4.快去了解区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说，则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据; 解析法：必须注明函数的定义域; 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

补充：

补充一：分段函数 (参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

补充二：复合函数

如果 y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。

常见考点考法

关于值域 定义域的考核是重点

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常量函数的基本性质

常数函数可以通过与复合函数的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

f: A→B是一个常数函数。 对所有函数g, h: C→A, fog=foh（“o”表示复合函数）。 f与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。 上面所给的常数函数的第一个描述，是范畴论中常数态射更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的导函数度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。

例如：

如果f是一个定义在某一区间、变量为实数的实数函数，那么当且仅当f的导函数恒为零时，f是常数。 对预序集合间的函数，常数函数是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定义域是一个格，那么f一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

任一定义域和陪域相同的常数函数是等幂的。 任一拓扑空间上的常数是连续的。 在一个连通集合中，当且仅当f是常数时，它是局部常数。

有例为证：

在证明罗尔定理时，对于第一种情形：M＝m，导出f（x）＝常数。2。根据函数极值的定义（如同济大学版《高等数学》中的定义）常量函数没有极值。

因为在极大值（极小值）的定义中，对于极大值点（极小值点），要求存在一个邻域，使得该邻域中的任意一点处的函数值都小于（大于）极大值点（极小值点）处的函数值。

所以，任何常量函数都不满足极值的定义。

函数的基本性质单调性

函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：D⊆Q（Q是函数的定义域）。区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1》x2，都有f(x1)》f(x2)。或，∀x1，x2∈D且x1》x2，都有f(x1)《f(x2)。函数图像一定是上升或下降的。该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。求函数单调性的基本方法一般是用导数法。对F（x）求导，F’（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）令F’（x）》0，可得到单调递增区间（-∞，-1）∪（1，+∞），同理单调递减区间复合函数还可以用规律法，对于F（g（x）），如果F（x），g（x）都单调递增（减），则复合函数单调递增；否则，单调递减。口诀：同增异减。还可以使用定义法，就是求差值的方法。

函数的基本性质

函数的基本性质包括有界性、单调性、奇偶性、连续性。设为一个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。设f（x）为一实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。连续是函数的一种属性，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。

扩展资料

函数的基本性质是什么

函数的基本性质是：

1、有界性：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M》0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

2、单调性：

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1《x2时，恒有f（x1）《f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1《x2时，恒有f（x1）》f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。

3、奇偶性：

设为一个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。

设f（x）为一实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。偶函数不可能是个双射映射。

4、连续性：

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

高一函数的基本性质知识点

高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。2、函数定义域的解题思路：⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。⑶ 对数式的真数必须大于0。⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。⑸ 指数为0时，底数不得为0。⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。⑵ 定义域一致，对应法则一致。4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。⑵ 集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个。⑶ 不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。7、分段函数⑴ 在定义域的不同部分上有不同的解析式表达式。⑵ 各部分自变量和函数值的取值范围不同。⑶ 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集。8、复合函数：如果（u∈M），u=g(x) （x∈A）,则，y=f=F(x) （x∈A），称为f、g的复合函数。2高一数学函数的性质1、函数的局部性质——单调性设函数y=f(x)的定义域为I，如果对应定义域I内的某个区间D内的任意两个变量x1、x2，当x1《 x2时，都有f(x1)《f(x2)，那么y=f(x)在区间D上是增函数，D是函数y=f(x)的单调递增区间；当x1《 x2时，都有f(x1)》f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。⑴函数区间单调性的判断思路ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1《 x2。ⅱ 做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。⑵复合函数的单调性复合函数y=f的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”；多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。⑶注意事项函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。2、函数的整体性质——奇偶性对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(-x)，则f(x)就为偶函数；对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =-f(x)，则f(x)就为奇函数。小编推荐：高中数学必考知识点归纳总结⑴奇函数和偶函数的性质ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。⑵函数奇偶性判断思路ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。ⅱ确定f(x) 和f(-x)的关系：若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数；若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。3、函数的最值问题⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。⑶关于二次函数在闭区间的最值问题ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。ⅱ 若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a》0时，顶点为最小值，a《0时顶点为最大值；后判断区间的两端点距离顶点的远近，离顶点远的端点的函数值，即为a》0时的最大值或a《0时的最小值。ⅲ 若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性若函数在上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b)；若函数在上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。3高一数学基本初等函数1、指数函数：函数y=ax (a》0且a≠1)叫做指数函数a 的取值a》10《a《1定义域x∈Rx∈R值域y∈(0，+∞)y∈(0，+∞)单调性全定义域单调递增全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点（0,1）（0,1）注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间上，指数函数的最值为：a》1时，最小值f(a)，最大值f(b)；0《a《1时，最小值f(b)，最大值f(a)。⑵ 对于任意指数函数y=ax (a》0且a≠1)，都有f(1)=a。2、对数函数：函数y=logax(a》0且a≠1))，叫做对数函数a 的取值a》10《a《1定义域x∈(0，+∞)x∈(0，+∞)值域y∈Ry∈R单调性全定义域单调递全定义域单调递减奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数过定点(1,0)(1,0)3、幂函数：函数y=xa(a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。⑴所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。⑵a》0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。⑶a《0时，幂函数在(0，+∞)区间为减函数。当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴；当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。幂函数总图见下页。4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。以上《高一数学函数知识点归纳整理》由高三网小编整理发布，更多内容请关注高三网。

对数函数有哪些主要性质

对数函数主要性质：

定义域求解：对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x》0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x》0且x≠1

和2x-1》0 ，得到x》1/2且x≠1，即其定义域为 {x 丨x》1/2且x≠1}

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a》1时，在定义域上为单调增函数；

0《a《1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

两句经典话：底真同对数正,底真异对数负。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a》0,a≠1，b》0）

当0《a《1, 0《b《1时，y=logab》0;

当a》1, b》1时，y=logab》0;

当0《a《1, b》1时，y=logab《0;

当a》1, 0《b《1时，y=logab《0。

对数函数的性质是什么呢

对数函数的性质是：

值域：实数集R，显然对数函数无界；

定点：对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

单调性：a》1时，在定义域上为单调增函数；

0《a《1时，在定义域上为单调减函数；

奇偶性：非奇非偶函数

周期性：不是周期函数

对称性：无

最值：无

零点：x=1

注意：负数和0没有对数。

注意：

对数函数（Logarithmic Function）是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。

对数函数是6类基本初等函数之一。其中对数的定义：

如果ax=N（a》0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a》0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x》0。它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。