傅里叶级数和傅里叶变换的关系（一、连续函数傅里叶级数与傅里叶变换）

本文目录

• 一、连续函数傅里叶级数与傅里叶变换
• 傅立叶变换和傅立叶级数求出的频谱函数有什么区别和联系
• 傅里叶变换和傅里叶级数之间的联系
• 到底如何理解傅里叶变换和傅里叶级数
• 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一)
• 傅立叶变换和傅里叶级数之间的联系
• 傅立叶级数和傅里叶变换有什么关系
• 傅里叶变换和傅里叶级数一样吗
• 傅里叶级数和傅里叶变换的区别和联系
• 傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶分析是什么关系

一、连续函数傅里叶级数与傅里叶变换

回顾傅里叶级数：

Fourier series :A Fourier series is an expansion of a periodic function as an infinite sum of orthogonal sine and cosine functions, each with an integer number of periods in the period of the function.

我的理解 ： 时域偶函数则频率对称。根据公式

时域偶函数时b_n必须要等于零。因为 b_n(t) = b_n(-t) , sin(nt)=-sin(-nt). 因此傅里叶级数指数表达式幅度不会有虚数，这是根据cos的欧拉公式可知，如下。

请留意偶函数与奇函数复指数系数（振幅）

先看一个例子

傅立叶变换和傅立叶级数求出的频谱函数有什么区别和联系

傅里叶级数是不连续的傅里叶变换，即傅里叶级数得到的频谱图是不连续的、而傅里叶变换得到的频谱图是连续的这是由它们变换的原函数决定的，当原函数是周期函数时，得到的是傅里叶级数，周期无限大即为非周期函数时得到的是连续频谱图

傅里叶变换和傅里叶级数之间的联系

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

1、傅里叶级数就是用一组正交函数将周期信号表示出来。傅里叶变换就是用一组正交函数将非周期信号表示出来。

2、傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。

3、法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

傅立叶变换的提出：

1、傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断，任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

2、当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日和拉普拉斯，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。

到底如何理解傅里叶变换和傅里叶级数

傅立叶级数是用来对周期函数进行展开的，如果原函数的频率为w，则展开的各项中，除了常数项，其他的都是w的整数倍。 当原函数为非周期函数的时候，则可以看成周期无穷大，频率w无穷小的情况，同样通过傅立叶级数进行展开，可是这时候可以看到，每一项前面的系数都开始趋于无穷小，但是这个原函数确实是由各种频率分量组合而成的，只不过每一个分量的作用都非常小。 这时候为了看到各种频率分量之间的关系，前辈们在以上这个无穷小的系数上除了一个无穷小量w，这样得到了一般意义上的傅立叶变换，每个频率分量代表着各自的相对大小。 所以当对周期函数这样的含有纯频率的函数进行傅立叶变换时就会出现冲击函数了

通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一)

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:     这种由很多项相加的形式就是级数。     对于函数就是如下这个形式：    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。     所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。     法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。     看一个动图来理解下这句话。     右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。     下面给出傅里叶级数的数学公式。原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。 便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。      代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。     很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。     还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：    我们只需要求出 就可以得到 。     所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：     对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。     当然上面是小学生的解法，大家不要当真。     在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入： 其对应的解为：    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。 什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。 和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0 而在函数上的正交就表现为积分的形式: 其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。 回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。 { } 任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：关于其证明网上有很多，这里就不细说了。 下面看如何利用上面的性质来接 将函数两边同时积分将 移到前面。 其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于于是:下面求解下 将两边乘上 ，然后两边同时积分将 移到前面。同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：在正交性那块我给出了 ，所以:关于 求法是一样得，这里就不细说了。 上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。 如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二) 中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。

傅立叶变换和傅里叶级数之间的联系

傅立叶变换和傅里叶级数之间的联系是通过把非周期信号看成是周期无穷大的周期信号，从傅里叶级数推导出了傅里叶变换。梳状函数的频谱图仍然是梳状函数。很容易求得该周期信号的傅里叶级数。

1、对于周期信号， 通过傅里叶级数得到的频谱为离散谱，其中任意一根频谱，对应的值肯定是常数。根据公式 F（jω）=limT→∞FnT。

2、那么周期信号的通过傅里叶变换得到的系数也一定为离散谱，且对任一频谱，其值为无穷大。无穷大究竟为多大呢？仅仅通过这个公式好像无法得到周期信号的傅里叶变换的系数的具体表达式。

3、如果我们已知周期信号fT（t）一个周期内的截断函数 f0（t）的傅里叶变换，也可以快速求出fT（t）的傅里叶级数。

傅立叶变换简介：

1、表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

2、在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

3、傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。

傅立叶级数和傅里叶变换有什么关系

傅立叶级数和傅里叶变换关系如下：

傅里叶级数仅适用于周期信号，傅里叶变换可以视作傅里叶级数的延伸，可以用于分析非周期信号的频谱特性。事实上，引入冲击函数后，周期信号也可以进行傅里叶变换。

傅里叶级数：所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。傅里叶变换：非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是从0到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。

傅里叶级数和傅里叶变换都源自于傅里叶原理得出；傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数。

傅里叶变换是完全的频域分析，而傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它是不同的频率的波形的叠加。

傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。

傅里叶变换和傅里叶级数一样吗

连续形式的傅立叶变换其实是傅立叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅立叶级数是存在的，可以认为是一样的。

傅里叶级数和傅里叶变换的区别和联系

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶分析是什么关系

傅里叶级数针对的是周期函数,傅里叶变换针对的是非周期函数,本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加,都有相似的特性,因为四种傅里叶表示都利用了复正选信号,这些特性提供了一种透彻了解时域和频域信号表示的特征的方法.