拉格朗日方程推导正则方程（拉格朗日定理公式是什么）

本文目录

• 拉格朗日定理公式是什么
• 欧拉-拉格朗日方程的推导和理解
• 泛函拉格朗日方程
• 拉格朗日方程
• 拉格朗日中值定理可以怎么推导
• 拉格朗日公式是什么
• 求解二重向量叉乘中拉格朗日公式的详细推导过程
• 拉格朗日定理的推导过程 求
• 第二类拉格朗日方程及首次积分
• 欧拉拉格朗日方程

拉格朗日定理公式是什么

约瑟夫·拉格朗日，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日公式包括拉格朗日方程、拉格朗日插值公式、拉格朗日中值定理等。

拉格朗日公式

拉格朗日方程

对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程,是法国数学家J.-L.拉格朗日首先导出的。通常可写成：

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q’j所表示的动能；Qj为对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度；n为系统的质点数；k为完整约束方程个数。

插值公式

线性插值也叫两点插值，已知函数y = f(x)在给定互异点x0, x1上的值为y0= f(x0)，y1= f(x1)线性插值就是构造一个一次多项式

P1(x) = ax + b

使它满足条件

P1(x0) = y0P1(x1) = y1

其几何解释就是一条直线，通过已知点A (x0, y0)，B(x1, y1)。

中值定理

定理表述

如果函数f(x)满足：

（1）在闭区间上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

上式称为有限增量公式。

拉格朗日定理

在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

四平方和定理说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

欧拉-拉格朗日方程的推导和理解

欧拉-拉格朗日方程，Eular-Lagrange equation，其数学意义不用多去讲了。在实际应用中，它对在动力学（特别是多体动力学和有限元的理论基础）分析中，得出系统的运动微分方程（组）进行分析有很大的价值。教科书和网络上关于这个方程的推导步骤和解释有很多，这里也写一下自己对推导过程的温习和理解。 极值的条件 先复习一下函数上的函数值处于极值的条件： 当函数值相对自变量的导数等于零时，即当自变量发生微小的变化（增加或减少）时，函数值仍不趋向发生改变，函数值处于极值，该点的自变量是产生函数极值的自变量。 函数的英文是function，经常使用小写。泛函的英文是Functional，经常使用大写。接下来极值条件延申到泛函集合中当泛函值处于极值的条件：当对其中一个函数施加一个微小的扰动（变分）使函数发生微小的变化后，函数所映射的泛函值仍不趋向发生改变时，其所映射的泛函值处于极值，该函数是使泛函值处于极值的函数。联想到函数极值下函数导数的条件，泛函值在处于极值时其对函数的扰动量（变分）求导也等于零。即它是一个即使施加了小小的扰动后也不趋于改变泛函值的函数。 泛函的积分表达式 泛函值的表达式是一个函数的起点和终点的积分表达式，每一个泛函积分值中的微元值由源函数所决定，包括函数的自变量值、函数值（因变量值）、以及函数的导数构成。函数到泛函值的映射关系是比较灵活的，它不止取决于当前的函数值，也取决于函数的自变量值和导数值，因此它的表达式为： 经常拿来做例题的泛函值有两个。一个泛函值是函数曲线从起点到终点的长度，例题要去证明最短长度的函数是两点间的直线；另一个例题是一个小球沿着函数曲线从起点到终点落下所需的时间，例题要去证明耗时最短的函数是一条摆线（最速降线）。在第一个例子中，泛函微分值等于微小的“弧长”单元；第二个例子中，泛函微分值等于微小的“时长”单元（“弧长”单元除以因势能转化为动能后所求得的瞬时速度） 泛函表达式在极值条件下的逐项推导 通过偏微分公式可以得出，泛函值对函数变分值的导数如下： 看这个部分：（泛函值对函数值的偏微分）乘以（变分） + （泛函值对函数值导数的偏微分）乘以（变分的导数）。一个乘子是变分，另一个乘子是变分的导数，需要通过方法将乘子统一，以便于进行进一步推导。 后者等于 （（泛函值对函数值导数的偏微分）乘以变分）在两端点上的差值 减去（（泛函值对函数值导数的偏微分）的导数 ）乘以 （变分） 因为两个端点是固定的，所以在两个端点处的变分为0，因此泛函对变分的导数为零的条件变为如下形式 变分是一个趋于零的无穷小量，因此需要的关系式变为 这便是欧拉-拉格朗日方程的表达式。也就是对函数使其泛函在处于极值下的要求。 公式能不能简单理解 感觉不太能。一开始想尝试好多思路去使用简单的比喻的方式，或者是直觉化的思路去理解这个公式，但想不太清楚。“两点之间直线最短”这种简单直觉所能理解的结论，直觉上好像不用去证明了，如果需要证明才能想清楚，那就不是直觉了。比如就尝试两点之间直线最短这个例子，想象起点是绳子的一端被钉子固定住，终点是一个位置固定的滑轮，当滑轮朝一个方向旋转时，绳子被“收紧”，绳子一部分的长度从AB两点之间收回终点的滑轮里，就像卷尺一样。朝另一个方向旋转时，绳子被“松弛”，藏在滑轮里的绳子被推出来。那么泛函是两点之间的绳子的长度，函数是绳子的形状。假设滑轮里有一个弹簧，就像卷尺一样，它趋向于减少绳子外露的长度。函数的变分，就好比我们用手去拨这个绳子让它产生形状的变化。泛函的变分，就是绳子形状变化的同时，绳子退回滑轮/伸出滑轮的长度。函数曲线的极值，就在绳子被拉直的时候，因为在那个时候去用手拨动绳子，就像琴弦一样，滑轮里绳子长度的变化趋向于不变。但是再往下就不好比喻了，因为这个比方里多了假设：绳子受到滑轮弹簧的力。目前还是没想到能直观理解拉格朗日方程的方法。 不过物理角度就容易一些，在最常见的保守系统中，物体的惯性力（质量乘以加速度）减去因势能差变化所产生的力等于零。 从数学到物理 为什么在保守体系的动力学运动微分方程中，拉格朗日量，也就是泛函值等于T-V 我这样理解：在保守体系中，物体在每一个时刻不是在增加动能减少势能的路上，就是在增加势能减少动能的路上。从而这个时间上微分值定义为动势能之差。因为动能和势能之间的转化关系，使得从起始时刻到最终时刻的泛函（作用量）处于最小值。 最后通过欧拉-拉格朗日公式可以得出运动微分方程的基本步骤： 1、获取系统总动能+总势能的表达式，得到拉格朗日量L=T-V的表达式； 2、将拉格朗日量通过欧拉-拉格朗日方程进行展开（对速度、加速度、位置求导），得出基于力、速度、加速度、位置的运动微分方程（组）； 3、如需分析系统的稳定性，对微分方程组进行转化可得到一个y’=Ay的特征矩阵乘以向量的方程。此时通过求解 Det(A)可得出特征矩阵的特征值lambda （当lambda《0时，系统趋于渐进稳定，当lambda》0时，系统趋于不稳定。当lambda中包括虚数部分时，系统在趋于稳定/稳定的总的趋势下存在震荡。一个系统会求解出不止一个特征值，每个特征值都会对应一个特征向量，通过特征值分析稳定性，并且通过特征向量得出稳定/不稳定的趋势方向） 关于欧拉-拉格朗日方程的推导和理解就先到这里。

泛函拉格朗日方程

拉格朗日方程拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。导引在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：设定函数和：其中，是自变数（independentvariable）。若使泛函取得局部平稳值，则在区间内，欧拉-拉格朗日方程成立：。现在，执行下述转换：设定独立变数为时间、设定函数为广义坐标、设定泛函为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程。为了满足这转换的正确性，广义坐标必须互相独立，所以，这系统必须是完整系统。拉格朗日量是动能减去位势，而位势必须是广义位势。所以，这系统必须是单演系统。半完整系统主项目：参阅半完整系统一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为；则称此系统为半完整系统。半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子：；其中，是未知函数。由于这个广义坐标中，有个相依的广义坐标，泛函不能直接被转换为拉格朗日量；必须加入拉格朗日乘子，将泛函转换为。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：

拉格朗日方程

拉格朗日方程：这里的L指代拉格朗日函数，即在一个物理系统中能量的计量，例如弹簧、杠杆或基本粒子。

解这个方程会告诉你该物理系统将如何随着时间演化。这种思考物理的方式经受住了物理学上的几次重大革命，例如量子力学及相对论等。

在主动力全是保守力的情况下，每种主动力会对应着一种势能，在此种情况下，拉格朗日方程可写为

利用L=T-V，（T为动能，V为势能，且势能仅为位置的函数）我们可将此方程改写为

由于势能与速度无关，受力等于负的势能对位置求导

现在可以将原方程改写为：

拉格朗日中值定理可以怎么推导

拉格朗日中值定理的内容：

若函数f(x)在区间满足以下条件: 　　

(1)在连续 　　

(2)在(a,b)可导 　　

则在(a,b)中至少存在一点f’(c)=/(b-a) a《c《b，使或f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) 成立，其中a《c《b

证明: 把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={/(b-a)}x. 　　

做辅助函数G(x)=f(x)-{/(b-a)}x. 　　

易证明此函数在该区间满足条件: 　　

1.G(a)=G(b); 　　

2.G(x)在连续; 　　

3.G(x)在(a,b)可导. 　　

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

扩展资料

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。

法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

拉格朗日公式是什么

拉格朗日方程是：对于完整系统用广义坐标表示的动力方程，通常系指第二类拉格朗日方程，是法国数学家J. -L.拉格朗日首先导出的。通常可写成:

式中T为系统用各广义坐标qj和各广义速度q’ j所表示的动能; Qj为 对应于qj的广义力;N(=3n-k)为这完整系统的自由度; n为系统的质点数; k为完整约束方程个数。

用拉格朗日方程解题的优点是：

1.广义坐标个数通常比x坐标少，即N《3n，故拉氏方程个数比直角坐标的牛顿方程个数少，即运动微分方程组的阶数较低，问题易于求解。

2.广义坐标可根据约束条件作适当的选择，使力学问题的运算简化，并且不必考虑约束力。

3.T和L都是标量，比力的矢量关系式更易表达，因此较易列出动力方程。

求解二重向量叉乘中拉格朗日公式的详细推导过程

支持向量机的原理很简单，就是VC维理论和最小化结构风险。在阅读相关论文的时候，发现很多文章都语焉不详，就连《A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern Recognition》这篇文章对拉格朗日条件极值问题的对偶变换都只是一笔带过，让很多人觉得很困惑。下面我将就SVM对线性可分的情况作详尽的推导。如上图所示，有一堆训练数据的正负样本，标记为：，假设有一个超平面H：，可以把这些样本正确无误地分割开来，同时存在两个平行于H的超平面H1和H2：使离H最近的正负样本刚好分别落在H1和H2上，这样的样本就是支持向量。那么其他所有的训练样本都将位于H1和H2之外，也就是满足如下约束：写成统一的式子就是： （1）而超平面H1和H2的距离可知为：SVM的任务就是寻找这样一个超平面H把样本无误地分割成两部分，并且使H1和H2的距离最大。要找到这样的超平面，只需最大化间隔Margin，也就是最小化。于是可以构造如下的条件极值问题： （2） 对于不等式约束的条件极值问题，可以用拉格朗日方法求解。而拉格朗日方程的构造规则是：用约束方程乘以非负的拉格朗日系数，然后再从目标函数中减去。于是得到拉格朗日方程如下： （3）其中： （4）那么我们要处理的规划问题就变为： （5） 上式才是严格的不等式约束的拉格朗日条件极值的表达式。对于这一步的变换，很多文章都没有多做表述，或者理解有偏差，从而影响了读者后续的推演。在此我将详细地一步步推导，以解困惑。 （5）式是一个凸规划问题，其意义是先对α求偏导，令其等于0消掉α，然后再对w和b求L的最小值。要直接求解（5）式是有难度的，通过消去拉格朗日系数来化简方程，对我们的问题无济于事。所幸这个问题可以通过拉格朗日对偶问题来解决，为此我们把（5）式做一个等价变换：上式即为对偶变换，这样就把这个凸规划问题转换成了对偶问题： （6）其意义是：原凸规划问题可以转化为先对w和b求偏导，令其等于0消掉w和b，然后再对α求L的最大值。下面我们就来求解（6）式，为此我们先计算w和b的偏导数。由（3）式有： （7）为了让L在w和b上取到最小值，令（7）式的两个偏导数分别为0，于是得到： （8）将（8）代回（3）式，可得： （9） 再把（9）代入（6）式有：

拉格朗日定理的推导过程 求

定义

如果函数f(x)在（a，b）上可导，使得f’(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)示意图令f(x)为y，所以该公式可写成△y=f’(x+θ△x)*△x (0《θ《1)   上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式，因此本定理也叫有限增量定理。

定理内容

若函数f(x)在区间满足以下条件:

(1)在连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f’(c)=/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在连续;

3.G(x)在(a,b)可导.

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证

几何意义

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行. 

第二类拉格朗日方程及首次积分

动力学普遍方程

设 个质点组成的质点系具有完整约束，其自由度为 ，则任意给定时刻确定该质点系位置的 个坐标可由 个广义坐标 唯一确定，即 化成矢量形式 将式 两边对时间 求导，得 其中， 称为广义速度，与广义坐标一同 相互独立 ，且为时间 的单值连续函数。

式 两边对广义速度 求偏导，得 式 两边对广义坐标 求偏导，得 上述推导过程中利用了连续函数求偏导过程中可以交换求偏导顺序，以及式 的形式。

取式 的变分（虚位移），由于时间固定，所以 ，得 应用虚位移原理的相关知识，我们可以得到 其中 是对应于广义坐标 的广义力，具有以下形式 观察式 中的第二项 其中， 是质点系的动能，记为 ，则有 其中 称为对应广义坐标 的广义惯性力。于是广义坐标下动力学基本方程表示为 由于 相互独立，得 受理想约束的质点系在运动时，对应各广义坐标的广义力与广义惯性力平衡（虚位移原理：受理想约束的质点系在静止时，对应各广义坐标的广义力为零）。微分方程形式如下： 上式称为 第二类拉格朗日方程 ，简称 拉格朗日方程 。

若主动力全部是有势力，记系统的势能函数为 ，则对应于广义坐标 的广义力为 由于 ，故式 转化为 记 ， 称为 拉格朗日函数 或 动势 。势力场中的拉格朗日方程写为 若主动力只是部分有势，则将有势力记入拉格朗日函数，其他的非有势力单独计算其广义力，拉格朗日方程形式如下： 其中 是非有势力对应的广义力。

直接利用定义式 。

虚位移法。为求得广义坐标 对应的广义力 ，可以沿着广义坐标增大的方向取特殊的虚位移 ，而其余的 ，求出所有主动力（非有势力）在该虚位移上所做的虚功 ，则应有

由上面的推导我们可以看到，拉格朗日方程是一组二阶常微分方程，为了方便求解，对于某些系统，可以利用系统的相关特性给出某些首次积分。

首先观察质点系的动能 由此，将质点系的动能划分为三个部分：广义速度的二次齐次函数，记为 ；广义速度的一次齐次函数，记为 ；广义速度的零次齐次函数，记为 。即 。

在上述符号系统下，拉格朗日方程 ，具有以下形式 对于形如式 的方程，如果存在一个函数 ，在将方程的解代入其中后，有 则称 为方程（组）的一个 首次积分 （也称 第一积分 ）。

一般，拉格朗日函数可能不会显含某些广义坐标，此时可以得到循环积分， 中显缺的广义坐标称为 循环坐标 。

设质点系的后 个坐标是循环坐标，则有 由拉格朗日方程，得 可得 此为质点系得拉格朗日方程的 循环积分 ， 称为对应于广义坐标 的 广义动量 。循环积分的物理意义： 对应于循环坐标的广义动量守恒 。

在上述推导过程中默认不存在非有势力，而当存在非有势力时，只需考虑在某个循环坐标上非有势力的广义力为零的情况即可。

如果在拉格朗日函数中不显含时间 ，即 。有 当主动力均为有势力时，由拉格朗日方程得， ，代入上式得 由此得 故 由 及齐次函数的欧拉定理，有 最后得到首次积分 该积分表示质点系部分能量的关系，称为 广义能量积分 ，常出现在相对于非惯性系运动的质点系中。

欧拉拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 为变分法中的一条重要方程。它提供了求泛函的平稳值的一个方法，其最初的想法是初等微积分理论中的“可导的极值点一定是稳定点（临界点）”。

当能量泛函包含微分时，用变分方法推导其证明过程，简单地说，假设当前的函数（即真实解）已知，那么这个解必然使能量泛函取全局最小值。

我们很清楚函数的概念，它大致是，将一个自变量扔到一个黑盒里，经过黑盒的暗箱操作，最终得到了一个因变量：