反函数的导数与原函数导数的关系（原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系）
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原函数的导数和反函数的导数为什么是倒数关系
y=y(x) 原函数 原函数的导数：dy/dx x=x(y) 反函数 反函数的导数：dx/dy 可见：dx/dy ＝ 1/(dy/dx) 即原函数的导数与反函数的导数互为倒数. 举例：原函数 y = tan x 反函数 x = arctan y 原函数的导数 dy/dx = sec²x 反函数的导数 dx/dy = 1/(1+y²) dx/dy = 1/(1+tan²x) = 1/sec²x = 1/(dy/dx) 即：dx/dy 与 dy/dx 互为倒数.
为什么说反函数的导数就是原函数的导数呢
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。
例题：求= arcsinx的导函数。首先， 函数y= arcsinx的反函数为x=siny ,所以: y ’=1/sin’ y= 1/cosy因为x=siny ,所以cosy=V1-x2;所以y ’=1/v1-x2。
原函数的导数等于反函数导数的倒数设y=f (x)。其反函数为x=g (v)可以得到微分关系式: dy= (df/ dx) dx, dx= (dg/ dy) dy。
那么，由导数和微分的关系我们得到：
原函数的导数是df/ dx=dy/ dx。
反函数的导数是dg/ dy=dx/ dy。
所以，可以得到df/ dx=1/ (dg/ dx)。
1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。
2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。
3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。
4、若函数是单调函数，则-定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。
5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点-定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。
反函数求导的方法与什么有关系
反函数的求导法则是：反函数的导数是原函数导数的倒数。例题：求y=arcsinx的导函数。 首先，函数y=arcsinx的反函数为x=siny，所以：y‘=1/sin’y=1/cosy
因为x=siny，所以cosy=√1-x2
所以y‘=1/√1-x2。
同理可以求其他几个反三角函数的导数。所以以后在求涉及到反函数的导数时，先将反函数求出来，只是这里的反函数是以x为因变量，y为自变量，这个要和我们平时的区分开。最后将y想法设法换成x即可。
扩展资料：
一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C反函数中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1) (x) 反函数y=f^(-1) (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
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