黎曼函数可积（怎么证明一个函数黎曼可积）

本文目录

• 怎么证明一个函数黎曼可积
• 证明黎曼函数可积
• 怎么判断一个黎曼函数在某个区间可积呢
• 广义黎曼可积条件
• 黎曼函数可积吗(黎曼函数是否可积)
• 黎曼可积的充要条件是什么
• 黎曼可积的必要条件
• 黎曼可积的必要条件是有界吗
• 证明Riemann函数Riemann可积
• 黎曼可积的黎曼积分

怎么证明一个函数黎曼可积

这样证明按照定义肯定是对的，但应该比较麻烦吧……一般如果要证明一个函数黎曼可积引入函数区间上的振幅概念（就是一个区间上面最大值减去最小值），然后用达布理论，黎曼可积转化为几个等价条件，比如任给一个δ》0，都能找到一种分割，使得这种分割成的所有区间振幅之和不超过δ，则函数黎曼可积……（还有其他等价条件，这些等价条件证明中比原始定义要快得多，从原始定义去证明这些等价条件似乎要用楼主说的方法，但是一旦证出来以后就直接用这些等价条件）。最完美的解释黎曼可积的理论还不是达布理论里面的上述等价条件，而是勒贝格测度论诞生以后推出的“终极”等价条件：函数黎曼可积等价于它的间断点集合测度为0.这个可以参考实变函数论的相关书籍。这些定理结论我都记得，只是怎么证出来的有些忘了…… （以上所有“函数”指的都是有界函数，无界函数不可能黎曼可积）

证明黎曼函数可积

对任意的e》0，函数值》e的点只有有限个（1/q》e等价于q《1/e，q是正整数，有限），记为K，将区间作分划，使得每一子区间长度《e/K，则子区间最大值超过e的这样的区间个数只有有限个，不超过K个，则达布上和《e/K*K+e*1=2e，其中第一项是对最大值超过e的区间求和，总过不超过K项，第二项最大值都小于e，总区间长度之和不超过1（假设在【0 1】上证明）。达布小和》=0，于是达布上和-达布下和《2e

怎么判断一个黎曼函数在某个区间可积呢

具体回答如下：

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

扩展资料：

对于一个函数f，如果在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

在某些积分的定义下这些函数不可积分，但在另一些定义之下它们的积分存在。然而有时也会因为教学的原因造成定义上的差别。

广义黎曼可积条件

有界闭区间上的有界函数黎曼可积当且仅当它的不连续点集合是勒贝格零测集，也当且仅当任意开集的原像是可数个若当可测集的并，还当且仅当除去最多可数个端点以外，任意开区间的原像若当可测。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 ζ(s)=0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法。

即当s为大于1的实数时，n 为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：

但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中。

因此， 的零点就成为大家关心的头等大事。 有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在 这条直线（后称为临界线）上。

黎曼函数可积吗(黎曼函数是否可积)

1.黎曼函数可积。 2.黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，黎曼函数定义在上，其基本定义是：R(x)=1/q，当x=p/q(p，q都属于正整数，p/q为既约真分数)。 3.R(x)=0，当x=0，1和(0，1)内的无理数。 4.函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 5.函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y和x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。 6.其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

黎曼可积的充要条件是什么

有界函数f(x)黎曼可积的充要条件是f(x)几乎处处连续。

作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分对于一在区间上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积。

我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x)取负值，则相应的面积值S亦取负值。

黎曼可积的解释

黎曼积分在应用领域取得了巨大的成功，但是黎曼积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制。

勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此，勒贝格积分的应用领域更加广泛。

黎曼可积的必要条件

黎曼可积的必要条件函数在有限区间上有界且只有有限个间断点。

黎曼可积：

1、在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。

2、黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

3、作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分对于一在区间a，b上之给定非负函数f（x），我们想要确定f（x）所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。

4、一列黎曼和。右上角的数字表示分割的矩形数。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。

黎曼可积区间的分割：

1、一个闭区间【a，b】的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列。每个闭区间【xi，xi+ 1】叫做一个子区间。定义λ为这些子区间长度的最大值：λ=max（xi+1−xi）。

2、再定义取样分割。一个闭区间【a，b】的一个取样分割是指在进行分割后，于每一个子区间中【xi，xi+1】取出一点。λ的定义同上。

3、于是可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼可积的必要条件是有界吗

黎曼可积的必要条件是有界。

若f无界，任意划分至少有一个区间上f无界，若我们在该区间内取使得f无界的点，就不满足不等式，即不满足极限的有界性，从而黎曼和的极限不是有限值，从未黎曼和不收敛，从而不能黎曼可积。故：f一定有界。

考虑无界函数的广义黎曼积分，它是黎曼积分的极限，是黎曼和的极限的极限，所以广义黎曼积分不是黎曼积分，所以广义黎曼函数其中就包含了无界函数。

黎曼可积的性质：

如果函数在区间上几乎处处大于等于0，并且它的积分等于0，那么几乎处处为0。

上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

证明Riemann函数Riemann可积

你指的应该是0到1上的,这样定义的函数称为Riemann函数（黎曼函数）： 　　R（x）=1,如果x=0； 　　R（x）=1/q,如果x=p/q,p、q互素； 　　R（x）=0,如果x是无理数； 　　和Dirichlet函数一样,这个函数在高等数中是非常有用的. 我要要证明Riemann可积,要用定义,我们的目标是如何把【0,1】分成k份,来看它的和趋于一个数,下面来找这个k 我们先观察R（x）=1/q,如果x=p/q,p、q互素；我们可以根据q不同把x分成组,而每一组里面的R（x）值都是1/q.而且个数要小于q；但要注意这样的q存在一个最大值Q,现在我们把k划成Q方份,那么黎曼上和《1/Q,当划分的k比Q方还加大趋于无穷时,显然黎曼上和＝0 所以黎曼可积

黎曼可积的黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。要使得“越来越‘精细’”有效，需要把λ趋于0。如此中的函数值才会与f(ti)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。严格定义如下：S是函数f在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε 》 0，都存在δ 》 0，使得对于任意的取样分割、，只要它的子区间长度最大值足够小 ，就有：}-也就是说，对于一个函数f，如果在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。另一个定义: S是函数f在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ε 》 0，都存在一个取样分割、，使得对于任何比其“精细”的分割 and ，都有：}-这两个定义是等价的。如果有一个S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足}-其次，如果有一个S满足第二个定义，首先引进达布积分的概念。首先第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与S相差不超过 。令r等于，其中Mi和mi是f在上黎曼可积，α和β是常数，则：上的实函数f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。如果上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。如果fn是上的一个一致收敛序列，其极限为f，那么：如果一个实函数在区间,上是单调的，则它是黎曼可积的。 黎曼积分可推广到值属于n维空间的函数。积分是线性定义的，即如果，则。特别地，由于复数是实数vector space，故值为复数的函数也可定义积分。黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分(improper integral)一样。我们可以令不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果向左或向右平移一个函数，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x) = 1 若x 》 0，f(0) = 0，f(x) = − 1若x 《 0。则对所有x.但如果我们将f(x)向右平移一个单位得到f(x − 1)，则对所有x 》 1，我们得到. 此时，如果尝试对上面的f积分，我们得到，因为我们先使用了极限。如果使用相反的极限顺序，我们得到。这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x) = 1 / n在上，其它域上等于0。对所有n，。但fn一致收敛于0，因此的积分是0。因此。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对瑕积分(improper integral)不适用。这限制了黎曼积分的应用。一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock-Kurzweil integral。扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi − xi + 1，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是Riemann-Stieltjes integral所采用的方法。