对勾函数单调性证明(怎么用导数证明对勾函数单调性)
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怎么用导数证明对勾函数单调性
已知f(x)=x+1/x,求导得f’(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2.再令f’(x)=0,得x=1或x=-1。列表得当x《-1时,f’(x)》0,f(x)单调增。当-1《x《0时,f’(x)《0,f(x)单调减。当0《x《1时,f’(x)《0,f(x)单调减。当x》1时,f’(x)》0,f(x)单调增。导数表示切线的斜率,当导数大于0,则函数单调增,当导数小于0,则函数单调减。
证明对勾函数的单调性
设x1,x2属于(0,+∞) x1<x2f(x1)-f(x2)=x1+a/x1-x2-a/x2=/x1x2x1-x2<0 x1x2>0 ①在(0,根号a]上 x1x2<a 所以 x1x2-a<0 所以单调递减②在(根号a,+∞)上 x1x2>a 所以 x1x2-a>0 所以单调递增同理(-根号a,0)单调递减 (-∞,-根号a)单调递增
对勾函数单调性证明请问用导数方法怎么求
已知f(x)=x+1/x,求导得f’(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2.再令f’(x)=0,得x=1或x=-1。列表得当x《-1时,f’(x)》0,f(x)单调增。当-11时,f’(x)》0,f(x)单调增。导数表示切线的斜率,当导数大于0,则函数单调增,当导数小于0,则函数单调减。
对勾函数的单调性
y=x+(k/x) ,(k》0) , 称为对勾函数在(-∞,-√ K)和(√ K,+∞))上是增函数在上是减函数
对勾函数f(x)=x+k/x的定义域值域单调性最值奇偶性
你好!
首先,定义域 x≠0,关于原点对称
f(-x) = - x - k/x = - f(x)
所以是奇函数
当k《0时,f(x) 在(-∞,0),(0,+∞)均单调递增,值域为R
当k=0时,f(x) = x,x≠0,单调递增,值域为 (-∞,0)∪(0,+∞)
但以上两者都不是对勾函数
当k》0时,f(x)才是对勾函数
f(x) = x + k/x ,(k》0)
f’(x) = 1 - k/x² = 0
解得 x = ±√k
x (-∞,-√k) -√k (-√k,0) (0,√k) √k (√k,+∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) 增 极大值 减 减 极小值 增
当x《0时,x= -√k处取得最大值,f(-√k) = - 2√k
当x》0时,x= √k 处取得最小值,f(√k) = 2√k
值域:(-∞,-2√k]∪[2√k,+∞)
注意:就整个函数而言是没有最值的,上面的最值只是x《0和x》0部分的最值。
附:y=x+k/x的图像(点击可查看大图)
红色:k》0,以k=1为例
紫色:k=0
蓝色:k《0,以k= -1为例
对勾函数y=x+a/x证明单调性
显然,因为x》0, 利用不等式可以知道当x=a/x时,取得最小值 此时x=根号下a 分开讨论0《x《根号下a和x》根号下a 设有0《x1《x2《根号下a 则x1+a/x1-(x2+a/x2 ) =(x1-x2) 可见0《x1《x2《根号下a时 ,则显然x1x2《a a/(x1x2)》1 则1-a/(x1x2)《0,而x1-x2《0 所以x1+a/x1-(x2+a/x2)》0 则在0《x《根号下a单减 同理,当根号下a《x1《x2时 1-a/(x1x2)》0.而x1-x2《0 所以x1+a/x1-x2+a/x2《0 则在x》根号下a单增可以同理讨论证明a《0的情况
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