简单函数的定义（函数的概念定义是什么）

本文目录

• 函数的概念定义是什么
• 什么是函数的定义
• 初中函数的定义
• 函数的定义是什么
• 在数学中函数的定义是什么
• 函数的基本概念
• 函数的定义

函数的概念定义是什么

函数的概念定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f(x)，得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。

函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。

扩展资料：

函数的表示方法：

1、解析式法

用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。

2、列表法

用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。

3、图像法

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来。

参考资料来源：百度百科—函数

什么是函数的定义

函数的定义（1）传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x和y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么把y叫做x的函数，x叫做自变量，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。y是x的函数，可以记作y＝f（x）（f表示对应法则）。（2）近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f是从A到B的一个对应法则，那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数，记作y＝f（x），其中x?A,y?B。原象的集合A叫做函数f（x）的定义域，象的集合C叫做函数f（x）的值域，显然C?B。注意①由函数的近代定义可知，函数是数集间的映射。②对应法则f是联系x、y的纽带，是函数的核心，常用一个解析式表示，但在不少问题中，对应法则f也可能不便用或不能用上个解析式来表示，而是采用其他方式（如数表或图象等）。定义域（或原象集合）是自变量的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，它和对应法则是函数的两个重要因素。定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数。③f（a）与f（x）的涵义是不同的，f（a）表示自变量x＝a时所得的函数值，它是一个常量，而f（x）是x的函数，是表示对应关系的。

初中函数的定义

函数最简单的定义就是，它是一个输入到输出的映射关系。

也就是说，函数是一个规则或者过程，将每个自变量（输入）都对应唯一的一个因变量（输出）。这种映射可以用（x，y）表示，其中x表示自变量，y表示因变量。这种映射可以用函数图象、表格或者公式等方式表现出来。

函数的定义可能有些抽象，具体来讲，函数是小学数学中认识的“加减乘除”四则运算的扩展。与“加减乘除”不同的是，函数要求对于每个输入值，都要有且只有一个输出值。也就是说，对于同一个输入，不会对应着不同的输出。

例如，f(x)=x²就是一个函数。其中x是自变量，f(x)是因变量，表示对于任意一个自变量x，函数f(x)的输出结果为x²。

再举一个例子，设P(x)表示一个物体的价格，x表示购买这个物体的数量。如果按照10元一件的价格来计算，则有：当x=1时，P(x)=10元；当x=2时，P(x)=20元；当x=3时，P(x)=30元……当x=n时，P(x)=10n元。

这个例子中的P(x)也是一个函数。它表明，购买数量为x的物品所需要支付的价格为10x元。我们可以用表格、公式、图象等多种形式来表示这个函数。

当然，函数还有其他的表现形式。例如，可以用函数图象的方式来表示函数。其中x坐标表示自变量，y坐标表示对应的因变量。例如，f(x)=x²的函数图象就是一个开口向上的抛物线。从这个图象上，很容易看出函数的性质和特点。

初中学生在学习函数的时候，还需要掌握静态函数和动态函数这两个概念。静态函数指的是只针对其中一个自变量进行输入输出的变化，而另一个自变量不发生变化的情况下，如果函数对应的输出不发生变化的话，那么这个函数就是静态函数。

常见的例子包括常数函数和一次函数等。动态函数则是针对同时变化的两个自变量而言的，比如两车同时出发并做匀速直线运动的问题。

函数的定义是什么

函数的定义：

1、函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。

2、函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域。

函数的性质

1、对称性

数轴对称：所谓数轴对称也就是说函数图像关于坐标轴X和Y轴对称。

原点对称：同样，这样的对称是指图像关于原点对称，原点两侧，距离原点相同的函数上点的坐标的坐标值互为相反数。

关于一点对称：这种类型和原点对称颇为相近，不同的是此时对称点不再仅限于原点，而是坐标轴上的任意一点。

2、周期性

函数在一部分区域内的图像是重复出现的，假设一个函数F(X)是周期函数，那么存在一个实数T，当定义域内的X都加上或者减去T的整数倍时，X所对应的Y不变，那么可以说T是该函数的周期，如果T的绝对值达到最小，则称之为最小周期。

在数学中函数的定义是什么

表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。

函数的基本概念

函数在数学上的定义：给定一个非空的数集A，对A施加对应法则f，记作f（A），得到另一数集B,也就是B=f（A）。那么这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

简单来讲，对于两个变量x和y，如果每给定x的一个值，y都有唯一一个确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x叫做自变量，y叫做因变量。

折叠函数的单调性：

设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1《x2时，恒有f(x1)《f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1《x2时，恒有f(x1)》f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

映射定义：

设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作：b=f(a)；a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。

则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特殊的象）

函数的定义

一、 函数的定义 函数的传统定义： 设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量. 我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. 函数的近代定义： 设A,B都是非空的数的集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,原象集合A叫做函数f(x)的定义域,象集合C叫做函数f(x)的值域,显然有CB. 符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为： x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式,在研究函数时,除用符号f(x)外,还常用g(x),F(x),G(x)等符号来表示. 对函数概念的理解 函数的两个定义本质是一致的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发.这样,就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射. 由函数的近代定义可知,函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f.其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征.y＝f（x）的意义是：y等于x在法则f下的对应值,而f是“对应”得以实现的方法和途径,是联系x与y的纽带,所以是函数的核心.至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则,这是无关紧要的. 函数的定义域（即原象集合）是自变量x的取值范围,它是构成函数的一个不可缺少的组成部分.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后,函数的值域也就随之确定了.因此,定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件,缺一不可.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数,这就是说： 1）定义域不同,两个函数也就不同； 2）对应法则不同,两个函数也是不同的； 3）即使是定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则. 例如：函数y＝x＋1与y＝2x＋1,其定义域都是x∈R,值域都为y∈R.也就是说,这两个函数的定义域和值域相同,但它们的对应法则是不同的,因此不能说这两个函数是同一个函数. 定义域A,值域C以及从A到C的对应法则f,称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则唯一确定.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时,才是同一函数. 例如：在①y＝x与 ,② 与 ,③y＝x＋1与 ,④y＝x0与y＝1,⑤y＝｜x｜与 这五组函数中,只有⑤表示同一函数. f（x）与f（a）的区别与联系 f（a）表示当x＝a时函数f（x）的值,是一个常量.而f（x）是自变量x的函数,在一般情况下,它是一个变量,f（a）是f（x）的一个特殊值.如一次函数f（x）＝3x＋4,当x＝8时,f（8）＝3×8＋4＝28是一常数. 当法则所施加的对象与解析式中表述的对象不一致时,该解析式不能正确施加法则. 比如f（x）＝x2＋1,左端是对x施加法则,右端也是关于x的解析式,这时此式是以x为自变量的函数的解析式；而对于f（x＋1）＝3x2＋2x＋1,左端表示对x＋1施加法则,右端是关于x的解析式,二者并不统一,这时此式既不是关于x的函数解析式,也不是关于x＋1的函数解析式. 函数的定义域： 定义： 原象的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域,即自变量的允许值范围. 当函数用解析式给出时,定义域就是使式子有意义的自变量的允许值的集合. 求定义域： 求定义域的三种基本方法： 一是依据函数解析式中所包含的运算（除法、开平方等）对自变量的制约要求,通过解不等式（组）求得定义域； 二是依据确定函数y＝f（x）的对应法则f对作用对象的取值范围的制约要求,通过解不等式（组）求得定义域； 三是根据问题的实际意义,规定自变量的取值范围,求得定义域. 如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的,那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合.对含参数的函数求定义域（或已知定义域,求字母参数的取值范围）时,必须对参数的取值进行讨论. 当函数由实际问题给出时,其定义域由实际问题确定. 函数的值域： 定义： 象的集合C（C B）叫做函数y＝f(x)的值域,即函数值的变化范围. 求值域的基本方法： 依据各类基本函数的值域,通过不等式的变换,确定函数值的取值范围,在这一过程中,充分利用函数图像的直观性,能有助于结论的得出和检验.从定义域出发,利用函数的单调性,是探求函数值域的通法